LOGARITHMUS CALCULATOR
This calculator is for educational use. It is believed accurate but no responsibility for accuracy of the results is accepted by the author.
RESULTAT
↓← ↓← ← FUNKTION f() ←↑ BEMERKUNGEN
↓ x y=f(x)=elogx=ln(x) logarithmus naturalis, → HZ , ln(x) , elog(x)
↓ ln x = f(y) = eln(x) ist der "Antilog" des ln(x); → exp(ln(x)) = x ; → Math.exp(Math.log(x))= x
↓ x y=f(e)=xloge=1/ln(x) loge , → reziproke Funktion von ln(x) = 1/ln(x)
↓ 1/ln y = x1/ln(x) = ln(x)√x1 = e Rechnerkontrolle mittels Math.Funktionen()
↓ x y = f(x) = x * e das x-fache der Euler-Zahl; e = limes(1 + 1/n) n
Basiszahl (BZ,a) ExpProdukt (EP,y) x = f(y) = alogy allg. Logarithmusfunktion → HZ-Ermittlung aus y
Basiszahl (BZ,x,a) Hochzahl (HZ,n,x) y = f(x) = xn bzw. ax allg.Potenz- bzw. Exponentialfunktion → PP bzw. EP-Ermittlung
Radikand (y) n√ (Wuzel-Hochzahl) x = f(y) = n√y1 = y1/n allg. Wurzelfunktion → BZ-Ermittlung , "Radix aus y"
y (ExpProdukt,EP) a (Basiszahl,BZ) x = f(a) = yloga reziproke allg.Logfunktion = 1/log(y) = log(a) → ermittelt eine reziproke HZ aus a
n (OberZahl) über r (UnterZahl) C=f(n,r)*10^
Stammfunktion Binomialkoeffizient (bnk)
a x y = f(x) = a + x Stammfunktion Addition
a y x = f(y) = a - y Umkehrfunktion Substraktion
a x y = f(x) = a * x Stammfunktion Multiplikation
a y x = f(y) = a / y Umkehrfunktion Division

Der Binomialkoeffizient (nr), sprich "n über r", errechnet die Anzahl sämtlicher Kombinationsmöglichkeiten, die unter n in einer (n entstammenden) Teilmenge der Grösse r möglich sind. Die Hochzahl ganz rechts wiederspiegelt die Mächtigkeit des Binomialkoeffizienten (bnk), welcher die geschätzte Gesamtzahl (1080) der Elektronen im Universum um ein Vielfaches übertreffen kann.
n
r
n! + e1
/r! + e2
/(n-r)! + e3 		= *10^
Der Binomialkoeffizient (n über r) = n(r)/r! = n!/[r!*(n-r)!] , beachte folgende Besonderheiten: Sofern r > n und n eine ganze positive Zahl ist, ist der Binomialkoeffizient (n über r) = 0 , weiterhin gilt definitionsgemäss (n über 0) = 1 , (0 über 0) = 1 , (n über n) = 1 .
Binomialkoeffizienten kann man addieren, multiplizieren, potenzieren, wurzeln etc, wie jede beliebige Zahl. In der Statistik werden sie vor allem gebraucht zur Berechung von Wahrscheinlichkeiten (z.B α- & β-Fehler)
Das Symbol n(r) → für ganze, positive r und beliebige reelle n ist das Symbol n(r) definiert als das Produkt
n(r) = n*(n-1)*(n-2)*.....*(n-r+1) , wobei n(0) = 1 definiert ist.
z.b. ist 10(4) = ?? → letzte Position ist 10-4+1 = 7 → 10*9*8*7=5040
z.b. ist 4(4) = ?? → letzte Position ist 4-4+1 = 1 → 4*3*2*1=24
z.b. ist 4(5) = ?? → letzte Position ist 4-5+1 = 0 → 4*3*2*1*0=0 , sobald n < r erscheint in der Multiplikationsreihe eine Null, womit das ganze Rechenprodukt = Null wird. Diese Einschränkung gilt aber nur für ganzzahlige n.
Merke: r muss immer ganzzahlig und positiv sein.
Die Fakultät r! → von ganzzahligen positiven r ist definiert als das Produkt der Multiplikationsreihe
r! = r*(r-1)*(r-2)*...*3*2*1 , wobei 0! = 1 definiert ist
z.B. 6! = 6*5*4*3*2*1 = 720

Tool zur Berechnung von x aus y in der Funktion y = xx.
Unter der Bedingung, dass die Basiszahl x den gleichen numerischen Wert wie die Hochzahl besitzt (BZ = HZ = x), ist im Potenzprodukt y (= BZHZ = xx) x implizit vorhanden: z.B 2*2 = 22 = 4 → 2√4 = 2 oder z.B 3*3*3 = 33 = 27 → 3√27 = 3 oder z.B 4*4*4*4 = 44 = 256 → 4√256 = 4 . Aufgabe: Errechnen Sie bei bekanntem Potenzprodukt y das zugehörige x auf 15 Dezimalstellen genau. Fragen Sie Ihren Mathematiklehrer, wie man eine solche Aufgabe mathematisch löst. Das vorliegende Tool berechnet x in einer Doppelschleife (do while) bis das Resultat ausgerechnet ist. Als Endresultat wird dasjenige y-Produkt ausgegeben, das der ursprünglich eingegebenen y-Zahl am nächsten kommt. Die Euler-Zahl e lässt sich bis auf die 5 ersten Dezimalstellen genau reproduzieren. Dieses Tool ist auch ein Test für die Kapazität Ihres Rechenprozessors in Verbindung mit JavaScript.
Tabellenbedienung: im y-Feld das Potenzprodukt y eingeben. Den Dezimalseparator immer als Punkt eingeben (Kommaseparatoren werden von Javascript nicht verstanden). Dann, sofern x-Inputfeld belegt, den Eintrag x-Input löschen bzw. 0 eingeben. Zur Berechnung von x die Taste "y=" betätigen.
Stammfunktion: y = x x y = x ^x y Calculator für y > 4
Stammfunktion: e = x x e = x ^x e Calculator für e 1 - 4


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Die Differential- und Integraglrechnung (d, ∫): gegenseitige Umkehrfunktionen, die den Hochzahlsetzer (Exponenten) manipulieren und zur Umgestaltung von Funktionen dienen.

EINFÜHRUNG:
Die höhere Mathematik beginnt mit der Differential- & Integralrechnung, befasst sich mit der Umgestaltung der Rechenoperatoren selbst nach streng definierten Regeln und beschreibt auf diese Weise neue Funktionen, die sich sich aus der Stammfunktion y = f(x) ableiten: y' = f '(x) = f(x) / dx und Y' = F(x) = ∫f(x) * dx.
Eine eingehende Darstellung der Differential- & Integralrechnung würde den Rahmen dieses kleinen Aufsatzes sprengen und meinen mathematischen Illetrismus völlig überfordern. Dazu sei auf das Studium der mathematische Literatur verwiesen, eine immer wieder spannende Geschichte. Ich beschränke mich auf folgende Ausführungen:

MATHEMATISCHE ZEICHEN & SCHREIBWEISEN:
- ∑ = Summe
- lim = Limes, Grenzwert
- d = vollständiges Differential; das ist die Bildung des Differentialquotienten dy/dx z.B. y = f(x) = x3 (Wendeparabel) → y' = f '(x) = lim(Δx=>0) Δy / Δx = dy/dx = df(x) / dx = 3*x2 . Die Bildung eines vollständigen Differentials ist eine Differentialrechnung, welche die Stammfunktion y = f(x) in die Ableitungsfunktion y' = f '(x) verwandelt indem sie die Hochzahl 3 der Stammfunktion y = x3 nach ganz bestimmten Regeln (vergl.unten) manipuliert. Diese "Differentialoperation" ist eine Art HZ-Abbau bzw. die Auslagerung von dx aus der Hochzahl. Im konkreten Beispiel wird das Volumen in die 3 determinierenden Flächen zerlegt.
- ∫ = unbestimmtes Integral. Dieses Zeichen wurde von Leibniz eingeführt, ersetzt das Zeichen lim(Δx=>0)∑ und bedeutet eigentlich "Grenzsumme". Der Ausdruck, der hinter dem ∫ geschrieben steht, wird Integrand oder auch "Ausdruck unter dem Integral" genannt. Die Bildung eines Integrals ist eine Integralrechnung, ist die Umkehrfunktion der Differentialrechnung, ist die Summierung der Integralprodukte y * dx bzw. [da y = f(x)] f(x)* dx, schreibt sich Y' = ∫f(x) * dx = F(x) = F (Fläche unter der Kurve), verwandelt die Stammfunktion y = f(x) in die Aufbaufunktion Y' = F(x) indem gemäss ganz bestimmter Regeln (vergl.unten) dx (in die Hochzahl) integriert wird. Diese "Integraloperation" ist eine Art HZ-Aufbau bzw. die Integration von dx in die Hochzahl.
d und ∫ heben sich bezüglich der Gestaltung neuer Funktionen nach bestimmten Regeln gegenseitig auf. So bedeutet z.B. y = ∫f(x)*dx df(x)/dx = ∫f(x)df(x) = f(x) , d.h. die Funktion f(x) wurde zwar 2 mal manipuliert (integriert und dann gleich wieder differenziert), aber schlussendlich nicht umgestaltet.
a∫x f(x)*dx = -x∫a f(x)*dx = lim(δx=>0)∑ f(x)*Δx = F(x) = F ("Fläche unter der Kurve"). Dies ist die Bildung eines bestimmten Integrals.
Beispiel der Bildung eines Integrals: die Integrierung der Funktion (Formel) zur Berechnung des Kreisumfanges ergibt die Funktion (Formel) zur Berechnung der Kreisfläche: y = f(x) = 2r π = Umfang → Y' = ∫f(x)* dx = F(x) = r2 π = F (Fläche unter der Kurve).
- ' '' ''' (4) (5) = hochgestellte Zeichen, welche die Anzahl gleichartiger Differenzierungs- bzw. Integrierungsschritte angeben.
- c = der konstante Faktor innerhalb der zu manipulierenden Formel, welcher als Multiplikand bzw. Dividend beim HZ-Abbau (Differenzierung) bzw. HZ-Aufbau (Integrierung) dient.
- +c = der konstante Summand, ist ein f(x)-unabhängige Grösse innerhalb einer zu differenzierenden Stammfunktion y = f(x) + c, besitzt keine Steigung und beschreibt lediglich eine x-Achsenparallele mit dem Wert + c, seine Ableitung ist = 0. Somit verschwindet der konstante Summand +c beim Differenzieren einer Stammfunktion y = f(x) +c → y' = df(x) / dx + c = f '(x).
- +C = die Integrationskonstante, ist im Prinzip jedem unbestimmten Integral wieder hinzuzufügen und beschreibt auf welcher y-Höhe im xy-Koordinatennetz die Funktion F(x) durchzuführen ist. Oft wird einfachheitshalber die Grösse +C einfach weggelassen, was nichts anderes bedeutet, als dass die x-Achse vertikal entsprechend der Grösse y = +C verschoben wird. z.B es sei y' = f '(x) so etwa nach Politiker-Art "umgetauft" in → y = f(x) → Y' = F = ∫f(x) * dx = F(x) +C.
Nicht ganz zufällig ist dass Zeichen +C auch die Bezeichnung einer Programmiersprache, was nichts anderes versinnbildlicht, als dass bei der Programmierung innerhalb eines Programmes einmal definierte Eingangsvariablen niemalsmehr einfach weggelassen oder gar umgetauft werden dürfen, ansonsten das schönste Programm abstürzt (diese Aussage mit Gruss an die 68er-Chaoten-Politiker, die nur von Inkompetenzen geschätzt werden) !

Haben wir unsern Illetrismus für die Hieroglyphen der höheren Mathematik genügend abgebaut?
y' = dF(x) / dx = f(x) → ist die Differenzierung einer zuvor zu F(x) integrierten Stammfunktion zurück zur Stammfunktion y = f(x).
Y' = F = ∫f '(x) * dx = f(x) → ist die Integrierung einer zuvor zu f '(x) differenzierten Stammfunktion zurück zur Stammfunktion y = f(x).

Die Bildung von Differential & Integral als Umkehrfunktionen zur Umgestaltung (Manipulation) der Funktion y = f(x) :
Die Integrierung des Radius zum Kugelvolumen: r=Radius, 2πr=Kreisumfang; πr2=Kreisfläche; 4πr2=Kugeloberfläche; 4/3πr3=Kugelvolumen.
2. Integral F' = 4/3 π r3 ← ∫ 1. Integral F = 4 π r2 ← ∫ Stammfunktion y = f(r) = 8 π r
Y'' = F' = F'(x) = ∫F(x)*dx = ∫Y'*dx ← ∫ Y' = F = F(x) = ∫f(x)*dx = ∫y*dx ← ∫ Stamm = y = f(x)
Y' = F = F(x) = ∫f(x)*dx = ∫y*dx ← ∫ Stamm = y = f(x) d → y' = f '(x) = df(x)/dx = dy/dx
Stamm = y = f(x) d → y' = f '(x) = df(x)/dx = dy/dx d → y'' = f ''(x) = df '(x)/dx = d'y/dx
Stammfunktion y = x3; d → 1. Differential y' = 3 x2 d → 2. Differential y'' = 6 x


DIE OPERATIVEN REGELN DER DIFFERENTIAL- & INTEGRAL-RECHNUNG:
Titel Integral ∫ Stamm Differential d operative Regel
Funktion Y' = F = F(x) = ∫f(x) * dx +C y = f(x) +c y' = f '(x) = df(x) / dx 1.) konstanter Summand +c
Funktion Y' = F = F(x) * c = c * ∫f(x) * dx y = f(x) * c y' = f '(x) * c = c * df(x) / dx 2.) konstanter Faktor *c
Potenzregel F = c/(n+1) * xn+1 y = c * x n y' = c*(n) * xn-1 3.) Bedingung n+-1 ≠ 0
Summen F=F(x)+Φ(x)=(∫f(x)*dx)+(∫φ*dx) y = f(x) + φ(x) y'=f'(x)+φ'(x)=(df(x)/dx)+(dφ(x)/dx) 4.) Summenregel
SummenBsp F=(a/4*x4)+(b/3*x3)-(c/2*x2) y=a*x3+b*x2-c*x y'=(a*3*x2)+(b*2*x)-(c*1) 5.) Summenregel
Produkte y = f(x) * φ(x) y'=[f(x)*φ'(x)]+[φ(x)*f '(x)] 6.) Produkteregel
Produkte y = f(x) * φ(x) y'=[f(x)*dφ(x)/dx]+[φ(x)*df(x)/dx] 7.) Produkteregel
Beispiel y = x3 * x5 = x8 y'=[x3*5x4]+[x5*3x2]=8x7 8.) Produkteregel
Produkte y = u * v = ∫u*dv + ∫v*du y = u * v y'=(u*v')+(v*u')=dy/dx=(u*dv/dx)+(v*du/dx) 9.)u=f(x),v=φ(x),u'=df(x)/dx
Quotient y = u / v y' =[(v * u'] - [u * v')]/v2 10.)u=f(x),u'=df(x)/dx
Beispiel y = x7/x4=x3 y'={(x4*7x6) - (x7*4x3 )}/x8=3x2 11.) Quotientenregel
Kette F ≠ F[z = G(x)] * G(x) y = f[z = g(x)] y' = f '[z = g(x)] * g'(x) 12.) Kettenregel
KetteBsp F = 5[x3]5 * 4x4 ≠ 13x13 y = f[x3]4 y' = 4[x3]3 * 3x2 = 12x11 13.) Kettenregel
Wurzel1/2 F=F(x)=2/3x3/2=2/3√x2 y=f(x)=x1/2=2√x1 y'=f '(x)=1/2 x-1/2=0.5/√x 14.) Wurzel
x-Exponent F = ∫1/x*dx = ln x y = ln x y' = d ln x /dx = 1/x = x-1 15.) x als Exponent
x-Exponent F = F(x) = ∫ex*dx = ex y = f(x) = ex y' = f '(x) = d ex/dx = ex 16.) x als Exponent
x-Exponent F = F(x) = ∫ax*dx = ax * ln a-1 = ax / ln a y = f(x) = ax y' = f '(x) = d ax/dx = ax * ln a 17.) x als Exponent
x-Exponent F = F(x) = ∫ xx*dx = xx / (1 + ln x) y = f(x) = xx y' = f '(x) = d xx/dx = xx * (1 + ln x) 18.) x als Basis & Exponent
x-Exponent F = F(x) = ∫ x1/x*dx = x√x / (1 - ln x)*x2 y = x√x = x1/x y' = f '(x) = d x1/x/dx = x√x * (1 - ln x)/x2 19.) x als Basis & Exponent
Trigonom F = F(x) = ∫ sin x *dx = - cos x y = f(x) = sin x y' = f '(x) = d sin x /dx = cos x 20.) trigonometr.Abl.
Trigonom F = F(x) = ∫ cos x *dx = sin x y = f(x) = cos x y' = f '(x) = d sin x /dx = - sin x 21.) trigonometr.Abl.
Trigonom F = F(x) = ∫ 1/cos2 x *dx = tg x y = f(x) = tg x y' = f '(x) = d tg x /dx = 1/cos2x 22.) trigonometr.Abl.
Trigonom F = F(x) = ∫ 1/sin2 x *dx = - ctg x y = f(x) = ctg x y' = f '(x) = d tg x /dx = - 1/sin2x 23.) trigonometr.Abl.

1.) Der konstante Summand +c (= +c1), beschreibt die Verlagerung der Funktion in vertikaler Richtung (x-Achsenparallele), ist, da ohne Steigung, nicht differenzierbar, entfällt beim Differenzieren und wird beim Integrieren als Integrationskonstante +C dem unbestimmten Integral hinzugefügt (vergl.oben). Die Ableitung einer Konstanten c ist = 0; y = c → y' = 0.
2.) Ein konstanter Faktor *c (bzw. *c-1 = /c) bleibt beim Differenzieren & Integrieren erhalten, beschreibt die Verlagerung der Funktion in horizontaler Richtung, wird dem d- bzw. ∫-Zeichen vorangestellt (ausgelagert) und dient bei der Funktionsmanipulation nach der Potenzregel als Multplikand (oder evtl. auch als reziproker Multiplikand = Dividend) (vergl.oben)
3.) Die Potenzregel regelt die Manipulation der Potenzfunktion y = f(x) = xn, könnte auch "gewöhnliches" Differenziern & Integrieren genannt werden (im Gegensatz zum logarithmischen Differenzieren, vergl. unten) und gilt in genau gleicher Durchführung auch für negative oder gebrochene Hochzahlen n. Jedoch ist die Bedingung zu beachten , dass eine HZ-Grösse, welche nach Addition bzw. Substraktion von 1 die Grösse 0 ergibt, nicht integrier- bzw. differenzierbar ist, da x in diesem Falle eine identitätslose Grösse 1 darstellt (x0 = 1) und als dimensionslose Einheitsgrösse nichts bewirkt. Die Potenzregel ist die Hauptregel Intergral- & Differentialrechnung.
4.) Die Summenregel: Summen werden gliederweise differenziert bzw. integriert.
5.) Im Beispiel bietet das letzte Glied -c*x ein Problem. Gemäss Potenzregel (3) dürfte dieses Glied nicht differenziert werden. Würde dieses Glied also undifferenziert in die Differentialfunktion übernommen, so würde bei Reintegration (Umkehroperation) die Stammfunktion bezüglich dieses Gliedes nun c/2*x2 lauten, was der alten Stammfunktion nicht mehr entspricht.
Wird das Glied -c*x entgegen der Potenzregel (3) trotzdem differenziert, so verwandelt es sich zu einem konstanten MinusSummanden (Identitätsverlust von x0) , welcher bei der Reintegration gemäss Regel (1) zu behandeln wäre, was ebenfalls nicht ganz der ursprünglichen Stammfunktion entspricht. Als Programmierer, der einmal definierte Eingangsvariablen während des ganzen Programmablaufes beibehält, differenziere ich dieses Problemglied trotzdem, nenne es in seiner differenzierten Form c*x0 und gelange bei der Reintegration wieder zur ursprünglichen Stammfunktion. Problem gelöst !
6.-8.) Die Produkteregel: Das MultiplikationsProdukt aus den Gliederfunktionen wird differenziert durch die Addition der Kreuzprodukte aus Stamm- bzw. Ableitungsfunktion der Einzelglieder. Die Produkteregel regelt die Differenzierung komplizierter Formelprodukte, indem die Formelglieder einzeln differenziert und ihre Kreuzprodukte dann addiert werden.
9.) Die Produkteregel, anders geschrieben zwecks besserer Lesbarkeit:
u = Stammfunktion f(x), u' = Ableitungsfunktion f '(x) = df(x)/dx, v = Stammfunktion φ(x), v' = Ableitungsfunktion φ'(x) = dφ(x)/dx.
Insgesamt ist die Produkteregel nur gültig für HZ-Werte mit positivem n: Funktionenprodukte, die negative HZ-Werte enthalten (x-n=1/xn) werden nach der Quotientenregel differenziert.
10.-11.) Die Quotientenregel ist vor allem vorgesehen für die Differenzierung von Quotienten, die aus 2 Funktionen bestehen y = u / v (vereinfacht geschrieben als Ersatz für die korrekte, aber etwas unleserliche Schreibweise y = f(x) / φ(x)). In der Integrierung bewirkt diese Regel aber ein ziemlich unvollständiges Integral mit einem Fehler von ca - 25% und ist in der Tabelle als Umkehrfunktion deshalb nicht aufgeführt.
12.-13.) Die Kettenregel regelt die Manipulation (Integrierung & Differenzierung) von Ketten, das sind sogenannte Schachtelfunktion (mittelbare Funktionen, Funktion einer Funktion. Die Funktion z = g(x) ist in der übergeordneten Funktion f(z) "verschachtelt" → f(z=g(x). g(x) ist analog f(x) einfach eine Funktion von x mit anderem Namen. Die Manipulation einer Kettefunktion bewerkstelligt sich durch die Bildung eines Multiplikationsproduktes aus den Manipulationen der KettengliederFunktionen. Auch die Kettenregel ergibt bei der Integrierung keine korrekten Integrale.
15. - 19.) Logarithmisches Differenzieren & Integrieren : Exponentialfunktionen (sind Funktionen mit der Veränderlichen x als Hochzahl) werden nicht gemäss der Potenzregel, sondern logarithmisch manipuliert (differenziert & integriert). Vergl. mathematische Spezialliteratur.
20. - 23.) Die Manipulation von trigonometrischen Funktionen: vergl. mathemtatische Literatur.

Die DIFFERENTIAL- & INTEGRAL-RECHNUNG nach der POTENZREGEL:
Integral ∫ Stamm Differential d 3.) Potenzregel
F = c * ∫f(x) * dx y = f(x) * c y' = c * df(x) / dx 3.) Potenzregel
F = c/(n+1) * xn+1 ∫ y = c * x n d y' = c*(n) * xn-1 Bedingung n+-1 ≠ 0
F = y = c * x n y' = Bedingung n+-1 ≠ 0
Die DIFFERENTIAL- & INTEGRAL-RECHNUNG nach der POTENZREGEL: ist der HZ-Abbau bzw. Aufbau der Funktion y = xn; dargestellt im Formular unten: Bitte immer über die Stammfunktion in die Tabellenkalkulation eingehen. Ein einfaches Beispiel ist bereits vorgegeben. Es bestehen die 3 folgenden Eingabemöglichkeiten:
(1) Eingabe von x und n bestimmen das Potenzprodukt y (vergl. vorgegebenes Beispiel).
(2) Eingabe von n & y bestimmen x.
(3) Eingabe von x & y bestimmen n
Die Ausfürungs-Buttons links & rechts der Eingabefelder für die Stammfunktion wirken beide gleich: sie berechnen die Stammfunktion und gleichzeitig ihr Integral ∫ und ihr Differential d.
Der ∫-Button links der Integralfunktion errechnet die weiteren Integrale.
Der d-Button rechts der Integralfunktion differenziert das eben erstellte Integral wieder zurück ins nächst tiefere Integral (Umkehrfunktion); dabei wird die aktuelle Stammfunktion als Integralfunktion formuliert. Beachte hierbei den Wertwechsel der Multiplikationskonstante c.
Der d-Button rechts der Differentialfunktion errechnet die weiteren Differentiale (sog. Ableitungen).
Der ∫-Button links der Differentialfunktion integriert das eben erstellte Differential zurück ins nächst tiefere Differential (Umkehrfunktion); dabei wird die aktuelle Stammfunktion als Differentialfunktion formuliert. Beachte auch hier den stattfindenden Wertewechsel von c.
Das zugehörige Java-Script findet sich eingangs des Formulars (form name="PR" action="")
Integral ∫ F=c*∫f(x)*dx F=c/(n+1)*xn+1 ↑ F =c/(n+1) * xn+1 = F ↓
Stamm y = c * f(x) y = c * xn ↑ y = c ......... * ....... x n = y ↓
Different d y' = c*df(x)/dx y'= c * n * xn-1 ↑ y'= c * n * x n-1 = y' ↓

Die DIFFERENTIAL- & INTEGRAL-RECHNUNG nach der Exponentialregel:
Integral ∫ Stamm Differential d 17.) Exponentialregel
F = c * ∫f(x) * dx y = f(x) * c y' = c * df(x) / dx 17.) Exponentialregel
F = c / ln(a) * ax ∫ y = c * ax d y' = c * ln(a) * ax
F = y = c * a x y' =
Die DIFFERENTIAL- & INTEGRAL-RECHNUNG nach der EXPONENTIALREGEL: ist die Manipulation der Funktion y = ax = eln(a)x = ex*ln(a); dargestellt im Formular unten: Bitte immer über die Stammfunktion in die Tabellenkalkulation eingehen. Ein einfaches Beispiel ist bereits vorgegeben. Es bestehen die 3 folgenden Eingabemöglichkeiten:
(1) Eingabe von x und n bestimmen das Potenzprodukt y (vergl. vorgegebenes Beispiel).
(2) Eingabe von n & y bestimmen x.
(3) Eingabe von x & y bestimmen n
Die Ausfürungs-Buttons links & rechts der Eingabefelder für die Stammfunktion wirken beide gleich: sie berechnen die Stammfunktion und gleichzeitig ihr Integral ∫ und ihr Differential d.
Der ∫-Button links der Integralfunktion errechnet die weiteren Integrale.
Der d-Button rechts der Integralfunktion differenziert das eben erstellte Integral wieder zurück ins nächst tiefere Integral (Umkehrfunktion); dabei wird die aktuelle Stammfunktion als Integralfunktion formuliert.
Der d-Button rechts der Differentialfunktion errechnet die weiteren Differentiale (sog. Ableitungen).
Der ∫-Button links der Differentialfunktion integriert das eben erstellte Differential zurück ins nächst tiefere Differential (Umkehrfunktion); dabei wird die aktuelle Stammfunktion als Differentialfunktion formuliert.
Das zugehörige Java-Script findet sich eingangs des Formulars (form name="ER" action="")
Integral ∫ F=c*∫f(x)*dx F=c/ln(a)*ax ↑ F =c /ln(a) * a x= F ↓
Stamm y = c * f(x) y = c * ax ↑ y = c ....... * ..... a x = y ↓
Different d y' = c*df(x)/dx y' = c*ln(a)*ax ↑ y'= c * ln(a) *a x= y' ↓

Die DIFFERENTIAL- & INTEGRAL-RECHNUNG nach der Logarithmusregel:
Integral ∫ Stamm Differential d 18.) Logarithmusregel
F = c * ∫f(x) * dx y = f(x) * c y' = c * df(x) / dx 18.) Logarithmusregel
F = c /(1+ln(x)) * xx ∫ y = c * xx d y' = c * (1+ln(x)) * xx Bedingung: x > 1
F = y = c * x x y' = nur für x > 1
Die DIFFERENTIAL- & INTEGRAL-RECHNUNG nach der LOGARITHMUSREGEL: ist die Manipulation der Funktion y = xx = eln(x)x = ex*ln(x); → es gilt die Beziehung ln(y) = x * ln(x). Die Differential- & Integralformeln sind im Formular unten dargestellt: Bitte immer über die Stammfunktion in die Tabellenkalkulation eingehen.
Das zugehörige Java-Script findet sich eingangs des Formulars (form name="LR" action="")
Integral ∫ F=c*∫f(x)*dx F=c/[1+ln(x)]*xx ↑ F =c /1+ln(x) * x x= ↓
Stamm y = c * f(x) y = c * xx ↑ y = c ....... * ..... x x = ↓
Different d y'=c*df(x)/dx y'=c*[1+ln(x)]*xx ↑ y'= c *1+ln(x) *x x= ↓

Die DIFFERENTIAL- & INTEGRAL-RECHNUNG nach der Logarithmusregel:
Integral ∫ Stamm Differential d 19.) Logarithmusregel
F = c * ∫f(x) * dx y = f(x) * c y' = c * df(x) / dx 19.) Logarithmusregel
F = c / [(1-ln(x))/x2] * x1/x ∫ y = c * x√x = c * x1/x d y' = c * [(1-ln(x))/x2] * x1/x
F = y = c * x 1/x y' =
Die DIFFERENTIAL- & INTEGRAL-RECHNUNG nach der LOGARITHMUSREGEL: ist die Manipulation der Funktion y = x√x = x1/x; → es gilt die Beziehung ln(y) = 1/x * ln(x). Die Differential- & Integralformeln sind im Formular unten dargestellt: Bitte immer über die Stammfunktion in die Tabellenkalkulation eingehen.
Das zugehörige Java-Script findet sich eingangs des Formulars (form name="LR2" action="")
Integral ∫ F = c / [(1-ln(x))/x2] * x1/x ↑ F =c /[1-ln(x)]/x2 * x 1/x= ↓
Stamm y = c * x√x = c * x1/x ↑ y = c ........... * ......... x 1/x = ↓
Different d y'= c * [(1-ln(x))/x2] * x1/x ↑ y'= c *[1-ln(x)]/x2 *x 1/x= ↓

Literatur und Instrumente.

· Mentor-Repetitorien, Differential- & Integralrechnung, Band 33 - 35; Oberstudienrat Theo Kühlein; Mentor-Verlag Berlin-Schöneberg, 1966.
· Erwin Voellmy Fünfstellige Logarithmen und Zahlentabellen, Prof. Dr. P. Buchner; Orell Füssli Verlag, Zürich, 1962.
· SELFHTML; Autor: Stefan Münz; Version 8.0 vom 27.10.2001; http://selfhtml.teamone.de; selfhtml@teamone.de. Eine ausgezeichnete Referenzdatei für HTML/XHTML, CSS, JavaScript/DOM, CGI/Perl, PHP mit vielen direkt ausführbaren Programmbeispielen.
· HTML EDITOR PHASE 52 Autor: Ulli Meybohm, Giessener Str. 24, D-35410 Hungen, www.meybohm.de, ulli@meybohm.de. Ein leistungsfähiger und kompakter HTML-Editor, FREEWARE !

Den Autoren Meybohm & Münz sei an dieser Stelle für ihren idealistischen Mentaleinsatz speziell gedankt. Sie haben zwei wertvolle Basis-Werkzeuge geschaffen, die jedem Interessierten den aktiven Einstieg ins Internet erlauben mit eigenen Programmen, geschrieben in einer für Internetbrowser allgemein verständlichen Programmiersprache.

WICHTIGER HINWEIS:

Damit Ihr Internet-Browser JavaScript korrekt interpretiert, muss die Option Java JIT-Compiler in den Sicherheitseinstellungen Ihres Browser aktiviert sein.

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Franz Ackermann M.D.
Dr. med. Spezialarzt FMH für Innere Medizin, Arztpraxis
Ziegelfeldstrasse 30, CH-4600 OLTEN
Telefon & FAX : +4162 212 15 77
E-mail : franzackermannball@freesurf.ch

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Ein Java-Script, das keinem Copyright unterworfen sein soll.
Verbesserungsvorschläge sind erwünscht und dürfen auch direkt ins Script eingetragen werden.

September 20th 2002
Last revision May 17th 2006
LogRechner_JSI.html, Version 3.1 (Java-Script logcalc.js integriert)

Special Edition Dr. med. M. Romanens, FMH Kardiologie
.F.A.